контрольные эксперименты для проверки этих свойств и способы идентификации МП и МФ по данным испытаний, наметить необходимые усовершенствования и возможные обобщения ОС.

Список используемых в статье сокращений: ОС - определяющее соотношение; МФ - материальная функция ОС; МП - материальные параметры (постоянные) ОС; КП - кривая ползучести (ТКП - теоретическая, ЭКП - экспериментальная); СД - скорость деформации; СН - скорость нагружения; КР - критерий разрушения.

Термин «возрастает» в дальнейшем означает нестрогое возрастание, т.е. неубывание.

Equation Section (Next)

1. Действие реологического оператора Р на степенные функции и функции с дифференцируемой степенной асимптотикой при t — +0. При всех допустимых значениях десяти МП оператор Р из ОС (0.1) определён на множестве функций БР := БР(©0,©1), для

которых существуют интегралы Лебега (0.2), входящие в ОС (0.1). Так как механический смысл a(t) - зависимость квазинапряжения от времени (c(t) и s(t) принадлежат одному классу

гладкости), то нас будут, прежде всего, интересовать свойства оператора Р на множестве D0 кусочно непрерывно дифференцируемых при t > 0 функций a(t), таких, что а(0) = 0, а их образы s(t) = Рсг стремятся к нулю при t — +0 (иначе e(0) Ф 0). С ростом а>1 множества D0 и DP расширяются, увеличение с0 вызывает сужение множества D0, а рост в - расширение D0.

Очевидно, что Р - положительно однородный оператор степени d :=а + £ на DР, т.е. для любого A > 0 и любой функции <r(t) g Dp справедливо тождество Р(Лсг) = Ad Ра при всех t > 0. Так как при пропорциональном увеличении деформации в каждый момент времени напряжение возрастает, то множитель Лй должен строго возрастать по A. Отсюда вытекает необходимое

ограничение на параметры модели: d > 0, т.е. а+£-"> 0.(1.1)

Легко доказать, что степенные функции a(t) = btm, t > 0, b > 0, m g R,(1.2)

принадлежат области определения DP оператора Р только при m > m*,(1.3)

где m* = max{//0, ju1] в случае £ Ф 0 и m* = ju0 при £ = 0; /и0:=-а0 - p-1, /1 :=-а>1 - ql.(1.4)

В дальнейшем при выводе уравнений кривых ползучести и релаксации будет неоднократно использовано следующее свойство ОС (0.1):

Лемма 1. Оператор Р переводит степенные функции (1.2) с m > m* в степенные функции

s(t) = atn, t > 0,(1.5)

где a := Qmbd, n := dm + N ,(1.6)

N :=в + £с -"co{) +£q-1 -"p- =в + тй-£//,(1.7)

Qm := V (x + (1 - X) mq fq (p(m - /ОГ \ q(m - /1))-q-, m > m*.(1.8)

При d > 0 функция n(m) = dm + N возрастает. Если £ = 0 или x > 0, то Qm > 0 и из леммы 1 следует, что оператор Р биективно отображает множество степенных процессов a(t) = btm, m > m*, на множество степенных процессов (1.5) с n > n*, где n* := dm* + N. В этом случае легко построить обратное отображение к ограничению Р на множестве таких степенных процессов: если задана функция s(t) = atn, n > n*, a > 0, то из (1.6) можно выразить m = (n - N)d 1 (n > n* влечёт m > m*), вычислить Qm по (1.8) (m > m* > 0 влечёт Qm > 0 ) и найти b из (1.6): bd = a/Qm.

Итак, оператор Р переводит множество степенных функций в себя. Это свойство сохраняется и для гораздо более широкого класса функций - функций с дифференцируемой степенной асимптотикой (ДСА-функций). Мы будем так называть функции, не только обладающие асимптотикойa(t) ~ btm при t — +0, m > m*, b > 0,(1.9)

но и имеющие производную в правой окрестности точки t = 0 с асимптотикой сг(t) ~ bmtm-.

2—1

Вообще говоря, асимптотические равенства нельзя дифференцировать: например, функция y = ax + x sin x , y(0) = 0, a Ф 0, дифференцируема при x e R и имеет линейную асимптотику y □ ax при x —>+0, но её производная у = a — cos x 1 + 2x sin x~l, y(0) = a, не обладает свойством у □ a.

Лемма 2. Оператор Р из (0.1) переводит функции с дифференцируемой степенной асимптотикой (1.9) в функции с дифференцируемой степенной асимптотикой s(t) □ at" при t --+0, где a, " и Qm > 0 по-прежнему вычисляются по формулам (1.6)-(1.8).

В силу этого свойства и своей широты класс ДСА-функций технически удобен для работы с ОС (0.1), в частности, для контроля непрерывности и гладкости квазидеформации s(t) и деформации e(t) = g(s(t)) в точке t = 0 и для обеспечения конечности модуля упругости модели при малых деформациях. В частности, при " > 0 из леммы 2 следует, что оператор Р переводит ДСА-функции в функции s(t), обладающие свойством s(t) —» 0 при t --+0 только тогда, когда dm + N> 0, т.е. m >r , где r :=—N/d - показатель кривой релаксации (4.1).

Equation Section (Next)

2. "Идеальные" кривые ползучести модели (0.1). Чтобы найти уравнение семейства "идеальных" КП (при мгновенном нагружении до заданного напряжения s = sc при t = 0), нужно

подставить постоянную функцию s(t) = sc, t > 0, в ОС (0.1) и вычислить откликs(t) и e(t) = g(s(t)). По (1.5) с m = 0 и b = ос := f (sc) получим (опуская индекс c):

s(t, s) = a(s) tN, или e(t, s) = g(a (s) tN),(2.1)

где N :=J3 + W0 —fa, a := Q,od = Q{)f(s)d , Q{) = V^p^p (—quj XT"q(2.2) (см. (1.4) и (1.8)). Так как p, q, V > 0, коэффициент Q0 имеет смысл только тогда, когда

//0 < 0 и ^1 < 0, т.е. m„ < 0,(2.3) т.е. выполняется условие (1.3) для m = 0 . Удобно переписать это ограничение в виде системы

w0 < 0 и w1 < 0, где w0:=<30p +1 = — //0p, w1 := (а>1 — 1)q +1 = —^1q.(2.4)

Это условие - критерий сходимости интегралов (0.2) для любой ограниченной в правой окрестности точки t = 0 функции cr(t) с ограниченной производной.

Параметры Q0 и N зависят лишь от МП, но не зависят от уровня напряжения s и МФ f и g. При разных s КП (2.1) подобны с коэффициентом a1 /a2 =(сг1/ст2 )d =(f (s1)/ f (s2))d . Отсюда можно найти МП d по двум ЭКП, если МФ f уже определена. В "обратной" модели (0.3) Q0 и N (точнее, их аналоги Q0 и m0) входили в уравнение кривой релаксации, а не ползучести [7].

Для большинства материалов (за исключением тех, в которых идут химические или фазовые превращения, повышающие их жёсткость) экспериментальные КП при постоянной температуре обладают двумя общими качественными свойствами: деформации возрастают (не убывают) с течением времени и при увеличении нагрузки. Установим условия, при которых теоретическая КП (2.1) обладает этими свойствами, т.е. возрастает по обоим аргументам. Это и будут (минимально) необходимые условия, при которых ОС (0.1) пригодно для моделирования ползучести материалов указанного класса.

КП (2.1) не убывает по аргументу t только тогда, когдаN > 0(2.5)

(поскольку МФ g (x) предполагается возрастающей). При N = 0 деформация (2.1) не зависит от времени, т. е. в этом случае модель описывает материал без (идеальной) ползучести. КП (2.1) строго возрастает с увеличением s только тогда, когда возрастает функция a(s)= Q0 f(s)d , т.е. когда d > 0 (поскольку МФ f(x) предполагается положительной и возрастающей). Необходимость этого ограничения уже была обнаружена (см. (1.1)).

Таким образом, возрастание МФ f (x), g(x) и ограничения m* < 0, d > 0 и N > 0 на МП ОС (0.1) обеспечивают существование семейства кривых ползучести (2.1) и возрастание деформации при ползучести с течением времени и с повышением уровня напряжения.

Если g (x) = x, то e(t) = s(t) и деформация ползучести (2.1) - степенная функция времени. При N = 1 деформация (2.1) растёт с постоянной скоростью a, т.е. моделируется установившаяся

ползучесть. Если N > 1, то скорость ползучести возрастает при всех t > 0, т.е. КП имеет только «третий участок» (такие экспериментальные КП встречаются у некоторых материалов при высоких уровнях напряжения). Если N < 1, то скорость ползучести убывает при всех t > 0, т.е. КП имеет только «первый участок». Так как в начальной стадии скорость ползучести большинства материалов не возрастает, а убывает или остаётся постоянной, то в случае g(x) = x на параметры

модели следует наложить дополнительное ограничение N < 1, т.е. в < 1 - "U0 + .

Equation Section (Next)

3. Моделирование кривых ползучести произвольной формы.

Введение в ОС (0.1) второй МФ g(x) даёт дополнительную степень свободы в описании данных испытаний материала и позволяет при N > 0 (см. (2.5)) адекватно моделировать поведение материалов с КП произвольной формы (в том числе тех, механические свойства которых существенно зависят от времени в силу нарастания повреждённости или структурных превращений). В частности, выбор МФ g позволяет моделировать ограниченную ползучесть (достаточно взять g(x), имеющую горизонтальную асимптоту при x — +оо), установившуюся ползучесть и получать ТКП, имеющие все три характерных участка: замедляющейся, установившейся и ускоряющейся ползучести (рис.1). Их длина и форма регулируются с помощью настроечных параметров, входящих в g, точнее, - в функцию формы кривой ползучести

<р(т):= g(tn ), т> 0. Использование <р(т) очень удобно для прямой и наглядной аппроксимации экспериментальных КП и формулировки общих требований к МФ g, поскольку <р(т) непосредственно определяет форму ТКП при произвольном уровне напряжения. Действительно, подстановка g (x) = <р( x11 N ) преобразует уравнение ТКП (2.1) к виду

e(t) = cp(A(s) t), где A:= a11 N = (Q0ad)VN = (Qf (s)d)VN(3.1)

Таким образом, ТКП получаются из графика <р(т) сжатием в A(s) раз вдоль оси времени. A(s)-возрастающая функция напряжения (поскольку N > 0 , а МФ f (x) предполагается возрастающей). Поэтому при увеличении а ТКП целиком сдвигается вверх. Функция A(s) определяет зависимость скорости ползучести от напряжения: e(t) = A<p(At) .

Для моделирования типичных КП с тремя участками (рис.1) можно построить функцию формы КП <р(т) в виде

ср(т) = <1(т) при tg[0;t1 ], ср(т) = <2(т) при tg\z1;z2 ], <р(т) = щз(г), г>г2,(3.2)

где функции щ(г), описывающие один из трёх участков, должны обладать типичными качественными свойствами, наблюдаемыми у экспериментальных КП: все они должны быть возрастающими и достаточно гладкими (дифференцируемыми хотя бы один раз); < 1(г) должна

быть выпукла вверх (т. е. < 1(г) должна убывать); < 2(г) должна быть линейной или близкой к линейной (т.е. <р2(г) мало отклоняется от постоянной на отрезке [г1;г2]); <р3(г) должна быть выпукла вниз. Кроме того, должны выполняться условия склейки в точках г1 и г2 , обеспечивающие непрерывность <р(г) и <р(г) в этих точках (а значит, при всех г > 0). Всем перечисленными свойствами обладает, например, семейство функций

«(г) = Лгп, <2(г) = <1(г1) + v(г-гl), <3(г) = <2(г) + /(r-T2)m,(3.3)

зависящее от шести действительных параметров: г2 >г1 > 0, n g (0;1), m > 1, /и> 0, v> 0. Седьмой параметр Л выражается через них по формуле A = vri1^n, обеспечивающей непрерывность <р(г) в точке г1 Непрерывность <р(г) в точке г2 следует из ограничения m > 1.

Совместно с ограничением /и > 0 оно обеспечивает ещё и свойство <р3п (г) > 0 . Ограничение

n g (0;1) (с учётом того, что A > 0 ) гарантирует, что <р1" (г) < 0 и <р1 (0) = 0.

Таким образом, формулы (3.2) и (3.3) задают семейство гладких функций формы КП <р(г), зависящее от шести действительных параметров, специализация которых позволяет тщательно