О матрице пересечений множеств компонент наблюдаемого вектора состояния системы управления

Василенко Д.Н, Головачев Е.В (negue@avte.omsk.info) Омский филиал института математики СО РАН

Введение.

В работе рассматривается возможность многократного оценивания элементов вектора состояния сложной системы управления, на основе построения пересечений множеств оценок вектора состояния. Если элемент вектора оказывается в пересечении двух множеств, это означает, что на основании анализа значений соответствующих элементов можно диагностировать состояние отказа одного из датчиков выходной информации, посредством которых были получены значения элементов вектора выходной информации. Если же элемент находится в пересечении более чем двух множеств, это означает, что на основании тех же значений можно диагностировать отказавший датчик по мажоритарной логике (2 из 3, 2 из 4 и т. д. в зависимости от количества множеств, пересечение которых оказалось непустым).

Декомпозиция системы с множеством входов и выходов.

Для гладкой нелинейной системы с множеством входов и выходов (MIMO - Multi Input Multi Output) [Battilotti, Isidori]:

dxm

(1)

j=1

где

x e Rn; f (x) e Rn; gi (x) e Rn; Vj = 1,..., m; yi e R; ht (x) e R; Vi = 1,..., p; y e Rp; h(x) e Rp сформируем

матрицу декомпозиции:

A =

decom

(2)

где вектор относительных степеней k = kp}определяется из выполнения соотношений:

La Lafh,(x) = 0; 0 <a<k, - 2; Lg Lf-1 h(x) * 0.

gj f ггgj J г

Для линейной системы:

dxm

dtj=1

(3)

гдеx e Rn; F e Rnxn; b} e Rnx1; Vj = 1,..., m; yt e R; y e Rp; ct e RUn; Vi = 1,..., p; C e Rnxp; матрица

декомпозиции будет иметь форму:

A =

decom

С1 Fk -\

clFki -\

cpFkp-lbx

c1Fk1 -4

cFk/ -1bJ

cpFkp%

, Fk -1bm

Fk/ -1bm

Fkp-1bm

где вектор относительных степеней k = {k1v..,kp} определяется из выполнения соотношений:

ddim(span{ci,ctF,ctF2,...,ctF"}) = k;Vi = 1,...,p. Очевидно, что матрица декомпозиции является обобщением матриц наблюдаемости и управляемости Р. Калмана на линейный и на нелинейный случай. Элемент матрицы декомпозиции Adecom = ctFki-1bt указывает на то, что по выходу yt = ctx можно оценить kt компонент вектора состояния x и существует максимальная подматрица Fi матрицы F, ранг которой определяет подсистему размерности к пара которой (F, ci) является

наблюдаемой (в смысле Р. Калмана).

Для оценивания вектора состояния линейной системы (3) можно построить наблюдатель [Luenberger]:

dt

F% + Bu + L(C£- y);£e Rn; L e Rnxm;

(5)

L может быть выбрана таким образом, что

Если пара (C, F) наблюдаемая, то матрица llx0.

Для оценивания вектора состояния нелинейной системы (1) наблюдатель может быть построен в форме [Tsinias]:

dty=1

где L(-) e Rp в данном случае является гладкой нелинейной функцией.

Наряду с матрицей декомпозиции Adecom сформируем матрицу множеств компонент вектора состояния AS

S

1 j

S1.

S

S

p1

S

S

pm

(7)

в которой любой элемент Sj; /=1, ... , p; j=1, ... , m; представляет собой подмножество компонент вектора состояния со свойством управляемости по входу Uj и свойством наблюдаемости по выходу у/. Тогда

подмножество компонент вектора состояния, управляемых по входу j, а

S* =u m=1 Sj(9)

подмножество компонент вектора состояния, наблюдаемых по выходу .

Один и тот же элемент может быть наблюдаем по нескольким соотношениям yt = ctx, т.е.

находиться в нескольких множествах S. Отсюда следует, что пересечения таких множеств (содержащих одинаковые компоненты вектора x) могут быть непустыми. В общем случае для системы с m соотношениями yt = ctx может быть максимальное количество пересечений

c

c

c

m

z=S cm(10)

Пример 1.

Пусть имеется линейная система, представленная в нормальной форме:

dx,

ш=U1;

dt

dx3

dt dx

_4

dt

x1;

■

У1 = x1; y2 = x2; уз = x3; y4 = x4; Тогда S1*=(x1, x2, x3, x4); S2*=(x2, x3, x4); S3*=(x3, x4); S4*=(x4); Непустые пересечения множеств S*:

S4*nS3*=S4*HS2*=S4*nS1*=(x4); S3*nS2*=S3*nS1*=(x3, x4); S2*nS1*=(x4, x3, x2); S4*nS3*nS2*=S4*nS3*nS1*=S4*nS2*HS1*=(x4); S3*HS2*HS1*=(x4, x3);

S1 *n S2 *n S3 *n S4 *=(x4).

Таким образом компонент вектора состояния x4 может быть оценен по выходной информации у4, у3, у2, у1; x3 - по информации у3, у2, у1; x2 - по информации у2, у1; x1 - по информации у1.

Пример 2.

Пусть имеется линейная система, представленная в нормальной форме:

x2 + U1 ;

dt dt

dt

dx4

dt

x3 + U 2 ;

■ x3 + U4 ;

У4 = x4;

Тогда S*1=(x1); S*2=(x1, x2); S*3=(x1, x2, x3); S*4=(x1, x2, x3, x4); Непустые пересечения множеств S*j:

S1*nS2*=S1*nS3*=S1*nS4*=(x1); S2*HS3*=S2*HS4*=(x1, x2); S3*HS4*=(x1, x2, x3); S1*nS2*HS3*=S1*nS2*nS4*=S1*nS3*nS4*=(x1); S2*nS3*nS4*=(x1, x2);

S1*n S2*n S3*n S4*=(x1).

Таким образом компонент вектора состояния x1 управляем по входным сигналам u1, u2, u3, u4; x2 - по u2, u3, u4; x3 - по u3, u4; x4 - по u4.

Заключение.

Предложенный в работе метод формирования матрицы пересечений множеств компонент наблюдаемого вектора состояния системы управления может быть использован для диагностики отказов в системе управления.