Eml -кинетическая энергия элементов подсистемы. Число элементов у всех подсистем равно mt , ^ - количество подсистем; s - внешние диски, сталкивающиеся с k диском

вдоль всей траектории.

Интегрирование в (8) выполняется до тех пор, пока поле обобщенных сил не обратится в ноль. Это эквивалентно обращению в нуль энергии относительного движения всех подсистем. Т. е. интеграл в (8) определяется энергией относительного движения подсистем, которая преобразуется в связанную энергию, Это соответствует феноменологическому определению энтропии Клаузиуса [3].

Формула (8) согласуется с формулой (5) для энтропии. Действительно, если r dS

E"s >> Tltr, то dS = Zl=1—l^Tltr, что соответствует (8). Как в (5), так и в (8) прирост

энтропии определяется изменением энергий относительного движения подсистем.

Таким образом, уравнение (8) связывает динамический параметр - действующую на подсистему силу, с термодинамическим параметром - энтропией. Т. е. она устанавливает связь между параметрами классической механики и термодинамическими параметрами,

Изменение кинетической энергии движения подсистемы как целого соответствует величине PdY. Действительно, dTtr = VdV = V& = Vdr = PdY.

Рассмотрим, чему соответствует изменение связанной энергии подсистемы. Из теоремы о вириале следует, что если потенциальная энергия является однородной

функцией второй степени от всех радиус-векторов, то Ems =2 Tim =2 Uins. Черта означает усреднение по времени. Мы показали, что связанная энергия подсистемы увеличивается за счет энергии Ttr. Но обратный процесс невозможен. Поэтому энергии Em можно поставить в соответствие величину Q .

Рассмотрим систему вблизи равновесия. Пусть выбранная подсистема состоит из N m

элементов. Тогда средняя энергия каждого элемента, T01Ш = Eins/Nm. Пусть Eins увеличивается на dQ . С учетом теоремы вириала с точностью до членов первого порядка малости будем иметь: dQ « T0ins[dEim/T0ins]= T0ins[dv/v0], где v0- средняя скорость

элемента, а dv -ее изменение. Так как подсистема находится вблизи равновесия, то dv / v0~ dTm /Гт , где Гт - фазовый объем подсистемы, а dFm - его увеличение за счет поступления в подсистему энергии dQ . Пренебрегая членами второго порядка малости, получим: dQ « k Eins dTm/Tm = k Eins dln(Tm), где T0ins = kEins. Но по определению [2, 3] dln(Tm)= dSm, где Sm - энтропия подсистемы. Отсюда следует, что в близи равновесия dQ «k EmdSm. Т.е. увеличение Ens пропорционально увеличению средней кинетической энергии ее элементов на величину Tl0mdSins ~TdS .

5. Связь обобщенных сил с энтропией.

Рассмотрим связь обобщенных сил с энтропией. Согласно формуле (5), величина энтропии неравновесной системы, состоящей из равновесных подсистем, определяется связанной энергией. Связанная энергия увеличивается за счет энергии относительного движения подсистем. С течением времени относительные скорости подсистем, а значит, обобщенное поле сил, обращаются в ноль, энергия относительного движения подсистем переходит в связанную энергию и система приходит к равновесию. Поэтому отклонение энтропии системы от ее равновесного значения будет определяться формулой [15-17]:

такими, как энтропия. Отсюда следует, что отклонение системы от равновесия характеризуется отношением энергии относительного движения подсистем к полной энергии системы.

Заключение.

Основное противоречие между классической механикой и термодинамикой состоит в том, что все Гамильтоновы системы обратимы, в то время как в термодинамике имеет место второй закон об увеличении энтропии. Изучение этого противоречия нами был начато с анализа динамики неравновесных систем жестких дисков. Оказалось, что описание их динамики невозможно без учета обмена энергиями между подсистемами. Чтобы учесть этот обмен, было получено обобщенное уравнение Лиувилля.

Из обобщенного уравнения Лиувилля следует, что необратимость возможна при условии непотенциальности сил взаимодействия подсистем. Таким образом, задача обоснования необратимости свелась к выяснению вопроса о характере сил взаимодействия подсистем. Чтобы найти эти силы, было получено уравнение движения для подсистем, состоящих из потенциально взаимодействующих элементов. Из него следовала непотенциальность сил взаимодействия подсистем в неравновесных системах. Все это позволило предложить следующий механизм необратимости.

Подсистемы в неравновесных системах обладают относительным движением. Энергия относительного движения в результате работы обобщенных сил преобразуется, как в потенциальную энергию, так и в связанную энергию подсистем. Процесс увеличения связанной энергии идет за счет увеличения энергии элементов подсистемы, определяемой их относительными скоростями. Это увеличение обусловлено бездиссипативным перераспределением энергии относительного движения подсистем между их элементами. Такое перераспределение необратимо. Его необратимость объясняется невозможностью увеличения скорости движения подсистем за счет их связанной энергии. Преобразование энергии относительного движения подсистем в связанную энергию идет до полного исчезновения кинетической энергии относительного движения подсистем. Т. е. вся энергия движения подсистем идет на увеличение энтропии.

Предложенный механизм необратимости получен только в рамках законов классической механики, а используемая модель имеет место в реальном мире. Взаимодействия элементов систем друг с другом является определяющим для процесса установления равновесия. Поэтому этот механизм не применим для идеального газа и броуновских частиц, поскольку в этих системах установление равновесия определяется взаимодействием элементов системы с внешней средой, а не между собой [23, 24].

Таким образом, ключевые положения в решении проблемы взаимосвязи классической механики и термодинамики заключаются в следующем. В неравновесных системах обобщенные силы взаимодействия подсистем непотенциальны. Работа этих сил приводит к увеличению связанной энергии. Увеличение связанной энергии подсистем происходит в результате такого изменения функции распределения скоростей элементов системы, при котором уменьшается скорость относительного движения подсистем.

Взаимосвязь классической механики с термодинамикой вытекает из уравнения движения для подсистем.