проектирования носочной части, определены ее кривизна и кручение. Вариация указанных параметров приведет к изменению формы носочной части в целом. Однако ценность предлагаемого подхода во многом зависит от того, будет ли указанная осевая линия инвариантной. К сожалению, полной инвариантностью (полной независимостью от системы отсчета) осевая линия в таком представлении обладать не будет в силу своего определения: координаты центра масс сечения зависят от правила, по которому выбирается данное сечение, от его ориентации относительно оси колодки. Очевидно, следует добиваться независимости осевой линии по отношению к распространенным в проектировании обуви локальным системам координат. Для повсеместного применения требуется построить систему координат, связанную с обувной колодкой, которой мог бы воспользоваться специалист, имея простой алгоритм перехода от локальной системы координат к универсальной. Такой объединяющей системы координат до сих пор не предлагалось. Основная причина - отсутствие объективного набора геометрических реперов, связанных с поверхностью стопы (колодки). Единственная особая точка в стопе (колодке), положение которой устойчиво, - экстремальная точка пяточного закругления. Примем ее в качестве первой особой точки для формирования объединяющей оси колодки. Задавшись вопросом, какая еще точка в колодке не допускает неоднозначного толкования (инвариантна по отношению к системе координат), можно прийти к выводу, что такой точкой может быть точка центра масс всей колодки. В отличие от центров масс сечений, центр масс колодки уникален и не зависит от принципов приближения и измерения ее поверхности. Если через эти две точки - точку пяточного закругления и центр масс - провести прямую, то получим однозначную ось, задающую систему координат в колодке. Для определения системы координат в целом следует построить плоскость, ортогональную указанной оси и выбрать в этой плоскости направление любой из ортогональных осей. Тогда третья ось определится как векторное произведение первых двух. Построение системы координат выходит за рамки данной работы, но не составляет сложностей. Для наших целей следует определить алгоритм перехода от локальной системы координат к объединяющей системе. В качестве примера рассмотрим систему координат трехкоординатного измерительного устройства ТАУ (ЛИТЛП). Система ортогональна. В результате измерений поверхность колодки представляется в виде набора пространственных цилиндрических координат R, <р, z или x, y, z. Существенным является выбор оси вращения колодки в измерительном устройстве: в качестве таковой (оси z) выбирается прямая, которая проходит через точку пяточного закругления и точку декоративного припуска в носочной части. Для перехода к новой системе координат следует определить положение центра масс колодки в старой системе координат, а затем, воспользовавшись формулами перехода, определить углы Эйлера поворота осей одной системы координат относительно другой, вычислить матрицу

Для координат центров масс мужской и женской колодок в системе координат ТАУ были получены следующие результаты (x, y, z указаны в мм относительно начала отсчета системы координат ТАУ, который расположен на оси вращения колодки в 3 мм от точки максимального пяточного закругления):

Мужская колодка: x = -1.26,y = 3.24,z = 128.05 .

Женская колодка: x = -4.15, y = -2.83, z = 118.13.

Обозначив углы Эйлера как а, в,у [5], выпишем матрицу перехода [8] , из нее найдем обратные соотношения для углов и определим их. Пусть (x0, y0, z0) и (x, y, z) - компоненты вектора центра масс в старой и новой системах координат соответственно, в - угол между осью вращения ЛИТЛП и осью, проходящей через экстремальную точку пяточного закругления и центр масс колодки.

В матричном виде система уравнений для преобразования вектора при повороте системы координат записывается в виде:

где r0,r1- радиус-векторы центра масс колодки в системе координат центра масс и измерительного комплекса ТАУ (относительно системы координат ТАУ), Ы - матрица

Покомпонентно система уравнений записывается следующим образом:

x0 = (cos а cos в cos у - sinasiny) x1 - (cosa sin esiny + sinacos у) y1 + z1 cos а sin в < y0 = (sin a cos в cos у + cos a sin у)x1 + (- sin a cos в sin у + cos a cos у)y1 + z1 sin a sin в z0 = (- sin в cos у)x1 + (sin в sin у)y1 + z1 cos в

Решая систему методом исключения относительно a, в, у, получаем следующие выражения для вычисления углов Эйлера:

Г0 = A * r

перехода.

f

в = arccos

z 0.

у =

arccos

Для упрощения дальнейших записей введем обозначения

P = x1 sin у + y1 cos у

Q = cos в( x1 cos у- y1 sin у) + z1 sin в

преобразования координат, и перевести координаты точек поверхности колодки в новую систему координат, связанную с центром масс колодки.

Электронный научный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 1 1 1 3 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2005/107.pdf С учетом введенных обозначений последний из углов будет представлен выражением

{РУ0 ±V p 2 y0-(у0 - Q2 JP2 +Q2) 1

arccos -51-т-1—-----

P2 + Q 2

а -

После подстановки известных значений (x0, y0, z 0) и (x1, y1, z1) были получены следующие значения углов поворота в градусах (для мужской колодки): а- 2° ,6; в- 1° ,5;/- 4° ,3. Подставив полученные значения углов в матрицу перехода, получим матрицу перехода в виде:

0.993 - 0.121 0.00Г \Л\ - 0.121 - 0.992 0.027 {- 0.002 0.027 0.999у

Матрица Л устанавливает соответствие между координатами точки колодки в системе

координат трехкоординатного измерительного устройства ТАУ (ЛИТЛП) и в системе координат центра масс. Предложенный выше алгоритм позволяет при наличии численных данных о координатах поверхности колодки в любой системе координат перейти к объединяющей системе координат и, соответственно, получить сравнимые параметры осевой линии носочной части. Таким образом, инвариантная осевая линия носочной части спроектирована и охарактеризована. Литература.

1.ГОСТ 3927-88 Колодки обувные. - М., Госкомитет СССР по стандартам, 1988.

2.Замарашкин Н.В., Замарашкин К.Н. Обувь: проектирование, производство, эксплуатация. - СПб, СПГУТД, 2002.

3.Замарашкин Н.В., Замарашкин К.Н. БД носочных частей колодок // СПб, СПГУТД,

2005.

4.Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. - М., Мир 1982.

5.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М., Наука, 1984.

6.Замарашкин Н. В. Исследование закономерностей формообразования, точности изготовления, создание способов и средств проектирования, обработки, контроля колодок и деталей обуви // Автореф. Дисс.д.т.н., Л., ЛИТЛП, 1977.

7.Ченцова К.И. Стопа и рациональная обувь. - М., Легкая индустрия, 1967.

8.Замарашкин К.Н. Математические методы проектирования обуви и конструирования технолгической оснастки. - СПб, СПГУТД, 2004.

9.Ченцова К.И. Проектирование и моделирование обувных колодок.- М.: Легкая индустрия. 1971.

10.Дубинский Е.А. Проектирование обувных колодок. -М.: Легкая промышленность, №8. 1953

11.Фукин В.А. Проектирование внутренней формы обуви.- М.: Легпромбытиздат, 1985,

стр.47-49.

12.Замарашкин К.Н. Расчет и построение пространственной кривой ребра следа в обувной колодке// Кожевенно-обувная промышленность, N2, 2005, стр.57-58.

13.Меу^ G. H. Die richtige Gestalt der Schuh. Berlin. 1858.