Аппроксимация плотности вероятности ортогональными функциями Лагерра и получение аналитических выражений для характеристических функций по

параметрам модели

Прохоров С.А., Дегтярева О.А. (olgalexd@mail.ru)

Самарский Государственный Аэрокосмический Университет

Аппроксимация плотностей вероятности и получение аналитической модели fa (x)

возможно различными способами. Один из них - аппроксимация ортогональными функциями Лагерра. Этот метод аппроксимации применяется в двух вариантах:

-совмещение областей определения модели плотности распределения и ортогональных функций;

-разделение модели плотности на левую и правую ветви относительно моды. После подбора оптимальных параметров в первом случае модель плотности вероятности может быть представлена в виде:

fa {x)=YjekLk (x — x min,a),(1)

к=0

где x min - минимальное значение абсциссы области определения плотности вероятности,

со

Дк =а\ fa (Х + Х min)Lk (Х> a)dx ,(2)

0

а ортогональные функции Лагерра определяются в виде

Для повышения точности рекомендуется вместо коэффициента Д использовать коэффициент bk, имеющие вид:

m

fa (Х min) ~YjPk

bk =Рк +-rk=°(4)

m +1

Аппроксимация плотности ортогональными функциями Лагерра представлена на рисунке 1. Полученные аналитические выражения для плотности вероятности могут служить для расчета характеристических функций.

Характеристическая функция имеет следующий вид:

+СО

срх (t) = MeltX = \ eltxfx (x)dx(5)

— со

и получила широкое применение в теории вероятностей в силу следующего свойства: -если Х1 и Х2 - независимые случайные величины, а У=Х1+Х2, тогда

Cy (t) = Cx1(t) + Cx2(t)(6)

При суммировании независимых случайных величин их плотности распределения преобразуются по формуле свертки, которая весьма неудобна для исследования и реализации, гораздо проще ее заменить простым перемножением характеристических функций.

В общем случае характеристическая функция является комплексной функцией и представляется в виде:

срх (t) = Re срх (t) + г Im срх (t):

где Re px (t) = cos(tx)fX (x)dx; Im px (t) = sin(tx)fx (x)dx ;

—co— CO

или

где

Px (t) = V (Re Px (t ))2 + (Im Px (t))

(8) (9)

а) Совмещение областей определения плотности вероятности и ортогональных функций Лагерра

б) Разделение плотности на две ветви относительно моды Рисунок 1. Аппроксимация плотности вероятности ортогональными функциями Лагерра

2

(7)

Таким образом, формула (5) с учетом выражений для модели плотности вероятности

fa (x) (1), (4) выглядит следующим образом

<Pa (t) = JZ bkLk (X — Xm , a) exp(itx)dx

x k=0

(10)

Формулы для аналитического интегрирования функций Лагерра выглядят следующим образом:

it--I

J Lk (x, a) exp(—itx)dx

1

a

+ it

it

a

(11)

J Lk (x, a) exp(i£x)dx

a

it

it + -

a

. a

it--

. 2 J

(12)

Если сделать замену x — xm = v, тогда выражение (10), с учетом формул (11), (12) примет вид:

<Pa (t) = JZ bkLk (V, a) exp(itv) exp(itxm )dv

0 k=0

exp(itxm )Z bk J Lk (v,a)exp(itv)dv = exp(itxm )--Z

k=0 0_ — it k=0

it + -

a

. a it--

Обозначим tg<p = —, тогда

2t_

a

<Pa (t) = ~ exp(itxm ) "-"-

a1 — itgcp

2cos с

= — exp(itxm )-~-

acose — i sine

Z b,

k=0 m

f itge +1 ^k

itge — 1

f i sin << + cos <D

k

i sin <p —

2cos CD m

- exp(itxm )-Z b

aexp(—iq>) k=0

k=0

cose

cose j

exp(i<e) — exp(—id)

k

J

(13)

(14)

Таким образом

Da(t) = -exp(itxm)cos<ZК(—1)k exp(i(2k +(15)

ak=0

Так как характеристическая функция является комплексной, то представим ее в следующем виде, воспользовавшись формулой (7):

m

<pa (t) = — cos e(cos txm + i sin txm )Z bk (— 1) k [cos(2k + 1)<e + i sin(2k + 1)<e]

k=0

2_ a

(16)

и введем следующие обозначения: ^(t) = cos txm, B(t) = sin txm ,

mm

C = Z bk (—1)k cos(2k + 1)e , D = Z bk (—1)k sin(2k + 1)e

k=0

k=0

Тогда вещественная и мнимая части запишутся в виде:

k

1

k

k